在水文模型的发展过程中^[1-4]，1970s以来，分布式流域水文模型^[5-10]被相继提出，模型的结构与参数的物理意义越来越明确.通常，如果一个模型是建立在对于水文过程物理原理的理解上，并且水文过程能够控制流域响应，那么它就可以被认为是基于物理的模型^[11-12].

随着遥感、地理信息以及数字流域等技术的发展，基于栅格数字高程模型(Digital Elevation Model，DEM)的分布式水文模型以其充分考虑降雨和下垫面条件空间变化的特点，已成为流域水文模型的发展趋势^[13-14].在分布式水文模型建模时，其主要难点在于如何获取模型参数的空间分布^[15-19].石朋等在地形指数的基础上将新安江模型中率定出的张力水蓄水容量曲线视为一种统计上的已知量，采用同比例的方法进行分析^[20].在蓄水容量曲线和地形指数曲线上采样，选择同比例下的Wi/Wmm与Ti-Timin点绘成线(图 1)，并进一步指出可以通过维布尔曲线来表现流域张力水蓄水容量与地形指数之间的关系，并给出了它们之间的函数方程，这样依据地形指数栅格就能求解出流域内张力水蓄水容量的分布.

新安江模型^[21-23]在三水源划分中借鉴了山坡水文学的概念，引入了自由水蓄水库来解决水源划分的问题，其自由水蓄水库的高度即为自由水蓄水容量(Sm).自由水蓄水容量是国内进行产流计算与水源划分中关键的参数，而对于Sm而言，Sm/Smm与Ti-Timin之间却没有表现出规则的曲线关系(图 2).然而由邹亮等在浙江湍口小流域所做的实验表明地形指数大的地方，汇流面积大，坡度平缓，通常土壤厚度大，且植被茂盛^[24].而同时姜文军等的研究发现在土壤厚度、坡度、植被覆盖以及高程等各种因子中，土壤腐殖质厚度与土壤厚度的联系最为紧密^[25]，且通常土壤腐殖质厚度大的地方自由水蓄水容量也大.这就说明了地形指数与自由水蓄水容量在物理机制上有着密不可分的联系.

1 自由水蓄水容量的空间分布

流域汇流过程除了受控于降水特性外，还与流域下垫面的地形地貌条件存在着明显的因果关系，这为用下垫面特征来推求水文模型参数提供了可能.石朋等^[20]在探究地形指数同蓄水容量之间的定量关系时发现流域张力水蓄水容量曲线与地形指数曲线之间服从位移量为零的对数维布尔分布曲线，其曲线的方程为：

$ \frac{{Wi}}{{Wmm}} = \exp \left\{ { - {{\left[{\frac{{\ln \left( {Ti-Ti\mathit{min} + 1} \right)}}{\alpha }} \right]}^\beta }} \right\} $

(1)

式中，Wi是单个网格张力水蓄水容量，Wmm是流域最大张力水蓄水容量，Ti为网格地形指数值，Timin为流域最小地形指数值，α为反映网格大小的尺度参数，β为形状参数.

在蓄满产流的概念中采用流域张力水蓄水容量曲线来考虑土壤缺水量分布不均的问题，对于闭合的流域，流域张力水蓄水容量曲线采用抛物线形为宜，可以用公式(2)表示：

$ a = 1 - {\left( {1 - \frac{{Wi}}{{Wmm}}} \right)^b} $

(2)

式中，a是流域中小于等于Wi的面积比例, b为张力水蓄水容量曲线方次.

联立公式(1)与公式(2)可以求出流域地形指数曲线的函数方程式：

$ \ln \left( {Ti - Ti\mathit{min} + 1} \right) = \alpha {\left\{ { - \ln \left[{1-{{\left( {1-a} \right)}^{1/b}}} \right]} \right\}^{1/\beta }} $

(3)

三水源水源划分时采用与流域张力水蓄水容量曲线相类似的方法来考虑流域内自由水蓄水容量分布不均的问题，类似于公式(2)，流域自由水蓄水容量公式为：

$ a = 1 - {\left( {1 - \frac{{Si}}{{Smm}}} \right)^{EX}} $

(4)

将公式(4)代入公式(5)中可以求解出地形指数与自由水蓄水容量之间的函数关系式为：

$ 1 - \frac{{Si}}{{Smm}} = {\left\{ {1 - \exp \left[{- {{\left[{\frac{1}{\alpha }\ln \left( {Ti-Ti\mathit{min} + 1} \right)} \right]}^\beta }} \right]} \right\}^{b/EX}} $

(5)

式中，Si是单个网格自由水蓄水容量，Smm是流域最大自由水蓄水容量，EX为自由水蓄水容量方次.

由公式(5)所给出的函数关系便可以由流域地形指数栅格得到流域自由水蓄水容量栅格，从而通过地形指数提取流域自由水蓄水容量的空间分布.

2 研究流域概况

本文选择陕西省陈河流域作为研究流域(图 3).陈河流域面积1490 km²，地处秦岭北麓，为秦岭褶皱带，上游大部分为高中山区，海拔高程700~3500 m，山势雄伟峰谷相间，地形破碎，山坡多为凹凸坡，仅在分水岭一带分布有直线坡.流域内较大的河流有大莽河、板房子河、虎豹河、王家河，河系呈扇形排列.该流域位于北温带，属大陆性季风气候，多年平均降水量700~900 mm，河流水量主要系雨水补给，局部暴雨是发生洪水的主要原因.流域平均径流深度100~500 mm，径流系数0.2~0.5，为相对较高产流区，侵蚀模数100~200 t/km².流域属暖温带落叶阔叶林及针阔混合林带，林相的垂直分布规律比较明显，流域森林覆盖率为82 %.流域在地质耕造上属北秦岭褶皱带，主要建造岩为变质混合岩类，花岗岩体也有零星分布.土壤分布由下到上有黄褐土、褐土、褐棕壤、高山草甸土.由于母岩的风化，流域表层有沙性土壤分布^[26-27].

3 算例

公式(5)的主要作用是用已知空间分布的地形指数来提取流域上自由水蓄水容量的空间分布.在具体的应用过程中，式中的Ti-Timin项可以通过流域DEM计算得到.在集总式模型率定出的流域蓄水容量曲线与自由水蓄水容量曲线作为已知的条件下，Smm、b和EX均为已知量.公式(5)中剩下的两个参数α与β可以通过计算出的流域自由水蓄水容量曲线与已知的自由水蓄水容量曲线的拟合(图 4)而率定出来.

本文利用从地理空间数据云下载的90 m分辨率的DEM数据提取陈河流域的自由水蓄水容量空间分布栅格，并结合陈河流域中2003-2012年间的17场洪水资料进行流域洪水模拟计算.通过计算结果与实测流量资料的比较来验证该方法是否实用、准确.本文所选择的模型为栅格新安江模型^{[24, 28-30]}，该模型将流域划分为若干个小的栅格单元，在每一个栅格单元上借鉴新安江模型的方法利用蓄满产流模式进行产流计算，计算出每个栅格的产流之后依照一定的汇流次序采用马斯京根法或者是水力学的方法逐栅格汇流到流域出口位置.栅格新安江模型可以把流域自由水蓄水容量栅格等栅格资料直接作为模型的输入.

将公式(5)与公式(1)计算得到的流域自由水蓄水容量分布栅格(图 5)和张力水蓄水容量栅格作为栅格新安江模型的输入参数.对于其余分布式的参数如流域内的植被栅格，土壤覆盖栅格等采用地理信息系统工具提取得到；对于集总式参数如河网蓄水消退系数(CS)和地下水消退系数(CG)等结合洪水资料率定得到.由此进行流域洪水演算，并将之与实测流量资料作比较(表 1).

依据《水文情报预报规范》(GB/T 22482-2008)的要求，在陈河流域2003-2012年间的17场洪水中，用于率定的有9场洪水，用于验证的有8场洪水(表 1).

用于率定的9场洪水中：8场洪水径流深相对误差 < 20 %，平均模拟径流深相对误差为10.04 %；9场洪水洪峰相对误差 < 20 %，模拟洪峰合格率为100 %，平均模拟洪峰相对误差为10.82 %；9场洪水的确定性系数> 0.6，其中≥0.9的有2场；0.7≤确定性系数 < 0.9的有7场.

用于验证的8场洪水中：8场洪水径流深相对误差 < 20 %，平均模拟径流深相对误差为12.57 %；8场洪水洪峰相对误差 < 20 %，模拟洪峰合格率为100 %，平均模拟洪峰相对误差为7.34 %；8场洪水的确定性系数> 0.6，其中≥0.9的有3场，0.7≤确定性系数 < 0.9的有2场.

对于用于验证计算的8场洪水，将栅格新安江模型计算的结果与传统的新安江模型计算的结果作比较，结果表明：采用了本文提取出来的自由水蓄水容量作为输入的栅格新安江模型计算出来的结果，无论是在洪峰误差、峰现时间误差，还是在确定性系数方面整体上，均优于传统的新安江模型计算得到的结果(表 2).

由表 1、2以及图 6可见，次洪模拟效果理想、准确.本文所提出的方法可以合理可靠地计算出流域自由水蓄水容量的空间分布.

4 结论与展望

本文中所提出方法的核心思想是：通过确定每个栅格点上自由水蓄水容量与地形指数的函数关系，利用已知空间分布的地形指数提取出自由水蓄水容量在流域上的空间分布.

验证本文中提出的公式时将本方法计算得到的自由水蓄水容量栅格作为栅格新安江模型的输入，计算陈河流域2003-2012年间的17场洪水，在径流深、洪峰和峰现时间这3个方面与实测资料作比较之后发现模拟结果准确，从而说明了本文所提出的方法实用有效，可以得到流域内自由水蓄水容量的合理分布，为栅格水文模型的应用提供了一个可靠的输入条件.

但是，流域自由水蓄水容量空间分布的确定是关键，也是难点，本文提取自由水蓄水容量的空间分布的方法也有不完善之处.准确的模拟效果并不能够说明流域内每一个栅格单元上自由水蓄水容量参数取值的准确性.因此提取自由水蓄水容量的空间分布仍是一个值得进一步探讨与研究的问题.